저항이 무한으로 늘어나는 회로 문제 풀이

 

무한으로 회로가 반복적으로 늘어나는 회로

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목록)

이론1. 저항이 직렬로 연결되면?

이론2. 저항이 병렬로 연결되면?

이론3. 저항이 직렬과 병렬로 혼합되어 있다면?

문제풀이. 무한으로 반복되는 회로의 전체 저항값은?

★ 혹시 회로는 다른데 무한으로 늘어나는 회로라면 똑같이 적용 가능하니 목록을 따라서 공부할 것!

 

 

 

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이론1. 저항이 직렬로 연결되면?

저항은 직렬로 연결되면 전체저항은 연결된 저항값을 모두 합하면 된다.

전체저항은

 

 

 

따라서 직렬로 연결된 저항은 모두 더하면 전체저항이 된다.

 

 

 

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이론2. 저항이 병렬로 연결되면?

저항은 병렬로 연결되면 전체저항은 연결된 저항값을 모두 -1승, 분모와 분자의 위치를 바꾼 값을 합한 값을 다시 -1승, 분모와 분자의 위치를 바꾼 값이다.

전체저항은

 

 

 

 

 

이 된다. 만약 저항이 아래의 사진처럼 여러개이면?

 

 

 

 

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이론3. 저항이 직렬과 병렬로 혼합되어 있다면?

앞에서 설명한 이론대로 차례대로 적용해서 전체저항값을 구하면 된다.

 

예를들면 아래의 그림과 같은 회로가 있다면?

가장 끝의 저항 2개는 직렬로 볼 수 있다. 

 

이제 직렬연결된 저항을 계산하면 아래와 같다.

 

그리고 병렬로 연결된 저항을 정리하면 아래와 같다.

 

마지막으로 직렬로 연결된 저항 2개를 정리하면 아래와 같다.

 

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문제 풀이. 무한으로 반복되는 회로의 전체 저항값은?

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1. 증식하는 회로가 1개인 경우

회로는 아래 그림과 같다.

앞의 이론3에서 계산한 결과 전체저항

을 확인할 수 있음.

그런데 여기서 반복해서 나올 부분만 정리했던 회로를 살펴보면?

반복되는 부분의 값은 2R인데 전체저항값과 비교해보면

2R을 분수 (6/3)R로 바꾸어서 보면

값이 비슷하단 것을 확인할 수 있다.

그럼 두번, 세번 반복해서 늘어나는 경우는?

 

 

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2. 증식하는 회로가 2개인 경우

 

차례대로 가장 끝의 직렬 부분부터 정리하면 아래의 사진과 같다.

 

이제 병렬로 연결된 저항을 정리하면 아래 사진과 같다.

 

이제 다시 직렬로 연결된 저항을 정리하면 아래와 같다.

 

다시 병렬관계를 정리하면 아래와 같고 

 

마지막으로 직렬로 연결된 저항을 정리하면 아래와 같다.

여기서, 정리 중간쯤에 회로를 다시 보면 

 

역시나 전체 결과값과 반복되는 부분의 값을 비교해보면 

 

다음과 같이 같다고 볼 수 있다.

두 번째가 되자 전체저항값과 반복되는 회로의 저항값의 차이가 앞의 1회차보다 작어진 것을 확인할 수 있다.

그럼 계속 확인해보면? 차이는 더욱 줄어든다.

직접 3회까지 늘린 경우도 계산해볼 것, 결과는 아래의 식이 나온다. 

 

반복되는 값을 비료해보면, 아래의 사진처럼 더욱 차이가 줄어든 것을 확인할 수 있다.

 

 

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3. 결론

반복해서 늘어나는 회로의 전체 저항값은 회로 전체 저항값과 같다. 결국 무한으로 늘어나는 회로는아래의 사진 속 회로로 정리할 수 있다.

식으로 정리하면 아래의 식과 같다.

 

결과는 문제에 제시된 숫자를  R에 대입하여 공대계산기 또는 직접 계산해보면 된다.

혹시나 회로가 조금 다르더라도 결론에 올려진 사진처럼 반복되는 부분을 확인하고 그 부분을 Rth 하나로 정리해서 똑같이 풀면 된다. 끝!